題目：
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列，求下列各種排法數：
(1) 甲乙丙三人不可分離
(2) 甲乙丙三人須分離
(3) 甲乙丙三人中恰二人相鄰
(4) 甲乙相鄰，丙丁不相鄰
(5) 甲乙丙三人皆不與丁相鄰
解答：
(1) 甲乙丙三人不可分離
甲乙丙打包，和丁戊己庚一起排列: \( 5! \)
甲乙丙排列: \( 3! \)
\( 5! * 3! = 720 \)
(2) 甲乙丙三人須分離
_ 丁 _ 戊 _ 己 _ 庚 _
丁戊己庚排列: \( 4! \)
甲乙丙分別插入其中的空隔: \( P^{5}_{3} \)
\(4! * P^{5}_{3} = 1440 \)
(3) 甲乙丙三人中恰二人相鄰
_ 丁 _ 戊 _ 己 _ 庚 _
丁戊己庚排列: \( 4! \)
甲乙丙三取二排在其中的一個空位並且排列，另一個排在其他的空位: \(C^{3}_{2} * 2! * P^{5}_{2} \)
\( 4! * C^{3}_{2} * 2! * P^{5}_{2} = 2880\)
(4) 甲乙相鄰，丙丁不相鄰
_ (甲乙) _ 戊 _ 己 _ 庚 _
甲乙打包，和戊己庚排列: \( 2! * 4! \)
丙丁排入其中的空位: \( P^{5}_{2} \)
\( 2! * 4! * P^{5}_{2} = 960 \)
(5) 甲乙丙三人皆不與丁相鄰
第一種情況: O 丁 O
戊己庚三選二擺在丁的左右兩邊: \( P^{3}_{2} \) 打包後和其他人排列: \( 5! \)
\( P^{3}_{2} * 5! = 720 \)
第二種情況: 丁 O
丁的左邊不擺人，右邊擺戊己庚三選一，在更右邊是其他人排列: \( 3 * 5! = 360 \)
第三種情況: O 丁
丁的右邊不擺人，左邊擺戊己庚三選一，在更左邊是其他人排列: \( 3 * 5! = 360 \)
\( 720 + 360 + 360 = 1440 \)
(題目來源: 建國中學數學科學習資料)
