數學題 (高一): 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列,求下列各種排法數

題目:

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列,求下列各種排法數:

(1) 甲乙丙三人不可分離

(2) 甲乙丙三人須分離

(3) 甲乙丙三人中恰二人相鄰

(4) 甲乙相鄰,丙丁不相鄰

(5) 甲乙丙三人皆不與丁相鄰

解答:

(1) 甲乙丙三人不可分離

甲乙丙打包,和丁戊己庚一起排列: \( 5! \)

甲乙丙排列: \( 3! \)

\( 5! * 3! = 720 \)

(2) 甲乙丙三人須分離

_ 丁 _ 戊 _ 己 _ 庚 _

丁戊己庚排列: \( 4! \)

甲乙丙分別插入其中的空隔: \( P^{5}_{3} \)

\(4! * P^{5}_{3} = 1440 \)

(3) 甲乙丙三人中恰二人相鄰

_ 丁 _ 戊 _ 己 _ 庚 _

丁戊己庚排列: \( 4! \)

甲乙丙三取二排在其中的一個空位並且排列,另一個排在其他的空位: \(C^{3}_{2} * 2! * P^{5}_{2} \)

\( 4! * C^{3}_{2} * 2! * P^{5}_{2} = 2880\)

(4) 甲乙相鄰,丙丁不相鄰

_ (甲乙) _ 戊 _ 己 _ 庚 _

甲乙打包,和戊己庚排列: \( 2! * 4! \)

丙丁排入其中的空位: \( P^{5}_{2} \)

\( 2! * 4! * P^{5}_{2} = 960 \)

(5) 甲乙丙三人皆不與丁相鄰

第一種情況: O 丁 O

戊己庚三選二擺在丁的左右兩邊: \( P^{3}_{2} \) 打包後和其他人排列: \( 5! \)

\( P^{3}_{2} * 5! = 720 \)

第二種情況: 丁 O

丁的左邊不擺人,右邊擺戊己庚三選一,在更右邊是其他人排列: \( 3 * 5! = 360 \)

第三種情況: O 丁

丁的右邊不擺人,左邊擺戊己庚三選一,在更左邊是其他人排列: \( 3 * 5! = 360 \)

\( 720 + 360 + 360 = 1440 \)

(題目來源: 建國中學數學科學習資料)