[學習筆記] 統計學:隨機變數及離散型機率分佈 Random Variables and Discrete Probability Distributions

隨機變數 Random Variable

隨機實驗 (random experiment) 的每一個結果 (outcome) 指定相對應的數字的函數或規則。

舉例來說,擲兩顆骰子,我們可以定義隨機變數 X 是兩顆骰子的點數的和,X 的值域為 2, 3, 4, ..., 12。

隨機變數(X)的某個值(x)發生的機率表示為P(X=x)或P(x)。

離散型隨機變數 Discrete Random Variable

值域為「有限」,或「無限且與自然數有一對一的對應」。

連續型隨機變數 Continuous Random Variable

值域為「某一區間」或「區間的集合」內的所有數值。

機率分佈 Probability Distribution

描述隨機變數的「值」及其「相對應的機率」的表格、公式或圖。

離散型隨機變數的機率分佈的要求 Requirements for a Distribution of a Discrete Random Variable

1. 0 <= P(x) <= 1 for all x
2. eq1

母體平均, 又稱為期望值 Population Mean, or Expected Value

eq2

母體變異數 Population Variance

eq3

期望值定律 Laws of Expected Value

1. E(c) = c
2. E(X + c) = E(X) + c
3. E(cX) = cE(X)

變異數定律 Laws of Variance

1. V(c) = 0
2. V(X + c) = V(X)
3. V(cX) = c sup2 V(X)

雙隨機變數的機率分佈 Bivariate Distributions

離散型雙隨機變數的機率分佈的要求 Requirements for a Discrete Bivariate Distribution

1. 0 <= P(x,y) <= 1 for all pairs of values (x,y)
2. eq4

共變異數 Covariance

eq5

雙隨機變數的和的期望值定律 Laws of Expected Value of the Sum of Two Variables

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

雙隨機變數的和的變異數定律 Laws of Variance of the Sum of Two Variables

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X,Y)

二項式實驗 Binomial Experiment

1. 包含固定次數(表示為 n)的實驗。
2. 每次的實驗都有可能出現兩種結果。標示為成功或失敗。
3. 成功的機率是p;失敗的機率是1-p。
4. 每次的實驗彼此是獨立的。也就是說,某次實驗的結果,不會影響到其他次實驗的結果。

舉例,擲銅板100次。
舉例,在只有2位候選人的情況下,調查5000位選名會投給哪位候選人。

若滿足上述2,3,4的條件,則稱每次的實驗為白努力程序(Bernoulli process)。

二項式隨機變數 Binomial Random Variable

n次二項式實驗中成功的次數。

二項式機率分佈 Binomial Probability Distribution

在實驗n次的二項式實驗中,若成功的機率為p,成功x次的機率為

eq6

for x=0,1,2,...,n

二項式隨機變數的算術平均數 Mean of a Binomial Random Variable

eq7

二項式隨機變數的變異數 Variance of a Binomial Random Variable

eq8

Poisson 實驗

1. 在任意區間(interval)內成功的次數和在其他區間內成功的次數是彼此獨立的。
2. 對於所有相同大小的區間,在任一區間內成功的機率都相同。
3. 在某一區間內成功的機率和該區間的大小成正比。
4. 當區間變小,超過1次成功的機率會趨近於0。

舉例,1小時內抵達公車站的車次。
舉例,1天內在某個區段的高速公路發生事故的次數(同時包含時間區間及空間區間)。

Poisson 隨機變數

在 Poisson 實驗中,在指定的區間內成功的次數。

Poisson 機率分佈 Poisson Probability Distribution

eq9

x=0,1,2,...
μ: 在區間中成功次數的平均值
e: 自然對數的基底 (2.71828)

Poisson 隨機變數的變異數 Variance of a Poisson Random Variable

eq10

延伸閱讀

[學習筆記] 統計學:數值描述技巧 Numerical Descriptive Techniques

Managerial Statistics, Chap 7 Random Variables and Discrete Probability Distribution