隨機變數 Random Variable
為隨機實驗 (random experiment) 的每一個結果 (outcome) 指定相對應的數字的函數或規則。
舉例來說，擲兩顆骰子，我們可以定義隨機變數 X 是兩顆骰子的點數的和，X 的值域為 2, 3, 4, ..., 12。
隨機變數(X)的某個值(x)發生的機率表示為P(X=x)或P(x)。
離散型隨機變數 Discrete Random Variable
值域為「有限」，或「無限且與自然數有一對一的對應」。
連續型隨機變數 Continuous Random Variable
值域為「某一區間」或「區間的集合」內的所有數值。
機率分佈 Probability Distribution
描述隨機變數的「值」及其「相對應的機率」的表格、公式或圖。
離散型隨機變數的機率分佈的要求 Requirements for a Distribution of a Discrete Random Variable
1. 0 <= P(x) <= 1 for all x
2. 
母體平均, 又稱為期望值 Population Mean, or Expected Value
母體變異數 Population Variance
期望值定律 Laws of Expected Value
1. E(c) = c
2. E(X + c) = E(X) + c
3. E(cX) = cE(X)
變異數定律 Laws of Variance
1. V(c) = 0
2. V(X + c) = V(X)
3. V(cX) = c sup2 V(X)
雙隨機變數的機率分佈 Bivariate Distributions
離散型雙隨機變數的機率分佈的要求 Requirements for a Discrete Bivariate Distribution
1. 0 <= P(x,y) <= 1 for all pairs of values (x,y)
2. 
共變異數 Covariance
雙隨機變數的和的期望值定律 Laws of Expected Value of the Sum of Two Variables
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
雙隨機變數的和的變異數定律 Laws of Variance of the Sum of Two Variables
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X,Y)
二項式實驗 Binomial Experiment
1. 包含固定次數(表示為 n)的實驗。
2. 每次的實驗都有可能出現兩種結果。標示為成功或失敗。
3. 成功的機率是p；失敗的機率是1-p。
4. 每次的實驗彼此是獨立的。也就是說，某次實驗的結果，不會影響到其他次實驗的結果。
舉例，擲銅板100次。
舉例，在只有2位候選人的情況下，調查5000位選名會投給哪位候選人。
若滿足上述2,3,4的條件，則稱每次的實驗為白努力程序(Bernoulli process)。
二項式隨機變數 Binomial Random Variable
n次二項式實驗中成功的次數。
二項式機率分佈 Binomial Probability Distribution
在實驗n次的二項式實驗中，若成功的機率為p，成功x次的機率為
for x=0,1,2,...,n
二項式隨機變數的算術平均數 Mean of a Binomial Random Variable
二項式隨機變數的變異數 Variance of a Binomial Random Variable
Poisson 實驗
1. 在任意區間(interval)內成功的次數和在其他區間內成功的次數是彼此獨立的。
2. 對於所有相同大小的區間，在任一區間內成功的機率都相同。
3. 在某一區間內成功的機率和該區間的大小成正比。
4. 當區間變小，超過1次成功的機率會趨近於0。
舉例，1小時內抵達公車站的車次。
舉例，1天內在某個區段的高速公路發生事故的次數(同時包含時間區間及空間區間)。
Poisson 隨機變數
在 Poisson 實驗中，在指定的區間內成功的次數。
Poisson 機率分佈 Poisson Probability Distribution
x=0,1,2,...
μ: 在區間中成功次數的平均值
e: 自然對數的基底 (2.71828)
Poisson 隨機變數的變異數 Variance of a Poisson Random Variable
延伸閱讀
[學習筆記] 統計學：數值描述技巧 Numerical Descriptive Techniques
Managerial Statistics, Chap 7 Random Variables and Discrete Probability Distribution
