隨機變數 (Random Variable)
為隨機實驗 (random experiment) 的每一個結果 (outcome) 指定相對應的數字的函數或規則。
舉例來說,擲兩顆骰子,我們可以定義隨機變數 X 是兩顆骰子的點數的和,X 的值域為 2,3,4,...,12。
隨機變數 X 的某個值 x 發生的機率表示為 P(X=x) 或 P(x)。
離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)
值域為「有限」,或「無限且與自然數有一對一的對應」。
連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)
值域為「某一區間」或「區間的集合」內的所有數值。
機率分佈 (Probability Distribution)
描述隨機變數的「值」及其「相對應的機率」的表格、公式或圖。
離散型隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Distribution of a Discrete Random Variable)
1. 0≤P(x)≤1, for all x
2. ∑allxP(x)=1
母體平均, 又稱為期望值 (Population Mean, or Expected Value)
E(X)=μ=∑allxxP(x)
母體變異數 (Population Variance)
V(X)=σ2=∑allx(x−μ)2P(x)
期望值定律 (Laws of Expected Value)
1. E(c)=c
2. E(X+c)=E(X)+c
3. E(cX)=cE(X)
變異數定律 (Laws of Variance)
1. V(c)=0
2. V(X+c)=V(X)
3. V(cX)=c2V(X)
雙隨機變數的機率分佈 (Bivariate Distributions)
離散型雙隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Discrete Bivariate Distribution)
1. 0≤P(x,y)≤1, for all pairs of values (x,y)
2. ∑allx∑allyP(x,y)=1
共變異數 (Covariance)
COV(X,Y)=σxy=∑allx∑ally(x−μx)(y−μy)P(x,y)
雙隨機變數的和的期望值定律 (Laws of Expected Value of the Sum of Two Variables)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
雙隨機變數的和的變異數定律 (Laws of Variance of the Sum of Two Variables)
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2COV(X,Y)
二項式實驗 (Binomial Experiment)
1. 包含固定次數(表示為 n)的實驗。
2. 每次的實驗都有可能出現兩種結果。標示為成功或失敗。
3. 成功的機率是 p;失敗的機率是 1−p。
4. 每次的實驗彼此是獨立的。也就是說,某次實驗的結果,不會影響到其他次實驗的結果。
舉例,擲銅板 100 次。
舉例,在只有 2 位候選人的情況下,調查 5000 位選名會投給哪位候選人。
若滿足上述 2,3,4 的條件,則稱每次的實驗為白努力程序 (Bernoulli process)。
二項式隨機變數 (Binomial Random Variable)
n次二項式實驗中成功的次數。
二項式機率分佈 (Binomial Probability Distribution)
在實驗 n 次的二項式實驗中,若成功的機率為 p,成功 x 次的機率為
P(x)=n!x!(n−x)!px(1−p)n−x, for x=0,1,2,...,n
二項式隨機變數的算術平均數 (Mean of a Binomial Random Variable)
μ=np
二項式隨機變數的變異數 (Variance of a Binomial Random Variable)
σ2=np(1−p)
Poisson 實驗
1. 在任意區間 (interval) 內成功的次數和在其他區間內成功的次數是彼此獨立的。
2. 對於所有相同大小的區間,在任一區間內成功的機率都相同。
3. 在某一區間內成功的機率和該區間的大小成正比。
4. 當區間變小,超過 1 次成功的機率會趨近於 0。
舉例,1 小時內抵達公車站的車次。
舉例,1 天內在某個區段的高速公路發生事故的次數(同時包含時間區間及空間區間)。
Poisson 隨機變數
在 Poisson 實驗中,在指定的區間內成功的次數。
Poisson 機率分佈 (Poisson Probability Distribution)
P(x)=e−μμxx!, x=0,1,2,...
μ: 在區間中成功次數的平均值
e: 自然對數的基底 (2.71828)
Poisson 隨機變數的變異數 (Variance of a Poisson Random Variable)
σ2=μ
延伸閱讀
[書籍] Managerial Statistics, Chap 7 Random Variables and Discrete Probability Distribution, 作者: Gerald Keller