隨機變數 (Random Variable)
為隨機實驗 (random experiment) 的每一個結果 (outcome) 指定相對應的數字的函數或規則。
舉例來說，擲兩顆骰子，我們可以定義隨機變數 \(X\) 是兩顆骰子的點數的和，\(X\) 的值域為 \(2, 3, 4, ..., 12\)。
隨機變數 \(X\) 的某個值 \(x\) 發生的機率表示為 \(P(X=x)\) 或 \(P(x)\)。
離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)
值域為「有限」，或「無限且與自然數有一對一的對應」。
連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)
值域為「某一區間」或「區間的集合」內的所有數值。
機率分佈 (Probability Distribution)
描述隨機變數的「值」及其「相對應的機率」的表格、公式或圖。
離散型隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Distribution of a Discrete Random Variable)
1. \(0 \leq P(x) \leq 1 \text{, for all x} \)
2. \(\sum_{\text{all} x}P(x) = 1\)
母體平均, 又稱為期望值 (Population Mean, or Expected Value)
\(E(X) = \mu = \sum_{\text{all} x}x P(x) \)
母體變異數 (Population Variance)
\( V(X) = \sigma^2 = \sum_{\text{all} x}(x - \mu)^2 P(x) \)
期望值定律 (Laws of Expected Value)
1. \(E(c) = c\)
2. \(E(X + c) = E(X) + c\)
3. \(E(cX) = cE(X)\)
變異數定律 (Laws of Variance)
1. \(V(c) = 0\)
2. \(V(X + c) = V(X)\)
3. \(V(cX) = c^2 V(X)\)
雙隨機變數的機率分佈 (Bivariate Distributions)
離散型雙隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Discrete Bivariate Distribution)
1. \(0 \leq P(x,y) \leq 1 \text{, for all pairs of values (x,y)} \)
2. \(\sum_{\text{all} x} \sum_{\text{all} y} P(x, y) = 1 \)
共變異數 (Covariance)
\(COV(X, Y) = \sigma_{xy} = \sum_{\text{all} x} \sum_{\text{all} y} (x-\mu_x) (y-\mu_y) P(x, y) \)
雙隨機變數的和的期望值定律 (Laws of Expected Value of the Sum of Two Variables)
\( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \)
雙隨機變數的和的變異數定律 (Laws of Variance of the Sum of Two Variables)
\( V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X,Y) \)
二項式實驗 (Binomial Experiment)
1. 包含固定次數(表示為 \(n\))的實驗。
2. 每次的實驗都有可能出現兩種結果。標示為成功或失敗。
3. 成功的機率是 \(p\)；失敗的機率是 \(1-p\)。
4. 每次的實驗彼此是獨立的。也就是說，某次實驗的結果，不會影響到其他次實驗的結果。
舉例，擲銅板 100 次。
舉例，在只有 2 位候選人的情況下，調查 5000 位選名會投給哪位候選人。
若滿足上述 2,3,4 的條件，則稱每次的實驗為白努力程序 (Bernoulli process)。
二項式隨機變數 (Binomial Random Variable)
\(n\)次二項式實驗中成功的次數。
二項式機率分佈 (Binomial Probability Distribution)
在實驗 \(n\) 次的二項式實驗中，若成功的機率為 \(p\)，成功 \(x\) 次的機率為
\( P(x) = \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{n-x} \text{, for x=0,1,2,...,n} \)
二項式隨機變數的算術平均數 (Mean of a Binomial Random Variable)
\( \mu = np \)
二項式隨機變數的變異數 (Variance of a Binomial Random Variable)
\( \sigma^2 = np(1-p) \)
Poisson 實驗
1. 在任意區間 (interval) 內成功的次數和在其他區間內成功的次數是彼此獨立的。
2. 對於所有相同大小的區間，在任一區間內成功的機率都相同。
3. 在某一區間內成功的機率和該區間的大小成正比。
4. 當區間變小，超過 1 次成功的機率會趨近於 0。
舉例，1 小時內抵達公車站的車次。
舉例，1 天內在某個區段的高速公路發生事故的次數(同時包含時間區間及空間區間)。
Poisson 隨機變數
在 Poisson 實驗中，在指定的區間內成功的次數。
Poisson 機率分佈 (Poisson Probability Distribution)
\( P(x) = \frac{e^{-\mu}\mu^{x}}{x!} \text{, x=0,1,2,...} \)
\( \mu \): 在區間中成功次數的平均值
\( e \): 自然對數的基底 (2.71828)
Poisson 隨機變數的變異數 (Variance of a Poisson Random Variable)
\( \sigma^2 = \mu \)
延伸閱讀
[書籍] Managerial Statistics, Chap 7 Random Variables and Discrete Probability Distribution, 作者: Gerald Keller
