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統計學:隨機變數及離散型機率分佈 (Random Variables and Discrete Probability Distributions)

隨機變數 (Random Variable)


隨機實驗 (random experiment) 的每一個結果 (outcome) 指定相對應的數字的函數或規則。

舉例來說,擲兩顆骰子,我們可以定義隨機變數 X 是兩顆骰子的點數的和,X 的值域為 2,3,4,...,12

隨機變數 X 的某個值 x 發生的機率表示為 P(X=x)P(x)

離散型隨機變數 (Discrete Random Variable)


值域為「有限」,或「無限且與自然數有一對一的對應」。

連續型隨機變數 (Continuous Random Variable)


值域為「某一區間」或「區間的集合」內的所有數值。

機率分佈 (Probability Distribution)


描述隨機變數的「值」及其「相對應的機率」的表格、公式或圖。

離散型隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Distribution of a Discrete Random Variable)


1. 0P(x)1, for all x

2. allxP(x)=1

母體平均, 又稱為期望值 (Population Mean, or Expected Value)


E(X)=μ=allxxP(x)

母體變異數 (Population Variance)


V(X)=σ2=allx(xμ)2P(x)

期望值定律 (Laws of Expected Value)


1. E(c)=c

2. E(X+c)=E(X)+c

3. E(cX)=cE(X)

變異數定律 (Laws of Variance)


1. V(c)=0

2. V(X+c)=V(X)

3. V(cX)=c2V(X)

雙隨機變數的機率分佈 (Bivariate Distributions)


離散型雙隨機變數的機率分佈的要求 (Requirements for a Discrete Bivariate Distribution)


1. 0P(x,y)1, for all pairs of values (x,y)

2. allxallyP(x,y)=1

共變異數 (Covariance)


COV(X,Y)=σxy=allxally(xμx)(yμy)P(x,y)

雙隨機變數的和的期望值定律 (Laws of Expected Value of the Sum of Two Variables)


E(X+Y)=E(X)+E(Y)

雙隨機變數的和的變異數定律 (Laws of Variance of the Sum of Two Variables)


V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2COV(X,Y)

二項式實驗 (Binomial Experiment)


1. 包含固定次數(表示為 n)的實驗。

2. 每次的實驗都有可能出現兩種結果。標示為成功或失敗。

3. 成功的機率是 p;失敗的機率是 1p

4. 每次的實驗彼此是獨立的。也就是說,某次實驗的結果,不會影響到其他次實驗的結果。

舉例,擲銅板 100 次。

舉例,在只有 2 位候選人的情況下,調查 5000 位選名會投給哪位候選人。

若滿足上述 2,3,4 的條件,則稱每次的實驗為白努力程序 (Bernoulli process)。

二項式隨機變數 (Binomial Random Variable)


n次二項式實驗中成功的次數。

二項式機率分佈 (Binomial Probability Distribution)


在實驗 n 次的二項式實驗中,若成功的機率為 p,成功 x 次的機率為

P(x)=n!x!(nx)!px(1p)nx, for x=0,1,2,...,n

二項式隨機變數的算術平均數 (Mean of a Binomial Random Variable)


μ=np

二項式隨機變數的變異數 (Variance of a Binomial Random Variable)


σ2=np(1p)

Poisson 實驗


1. 在任意區間 (interval) 內成功的次數和在其他區間內成功的次數是彼此獨立的。

2. 對於所有相同大小的區間,在任一區間內成功的機率都相同。

3. 在某一區間內成功的機率和該區間的大小成正比。

4. 當區間變小,超過 1 次成功的機率會趨近於 0。

舉例,1 小時內抵達公車站的車次。

舉例,1 天內在某個區段的高速公路發生事故的次數(同時包含時間區間及空間區間)。

Poisson 隨機變數


在 Poisson 實驗中,在指定的區間內成功的次數。

Poisson 機率分佈 (Poisson Probability Distribution)


P(x)=eμμxx!, x=0,1,2,...

μ: 在區間中成功次數的平均值

e: 自然對數的基底 (2.71828)

Poisson 隨機變數的變異數 (Variance of a Poisson Random Variable)


σ2=μ

延伸閱讀


[書籍] Managerial Statistics, Chap 7 Random Variables and Discrete Probability Distribution, 作者: Gerald Keller