統計學：數值描述技巧 (Numerical Descriptive Techniques)

中心位置量數 (Measures of Central Location)

算數平均數 (Arithmetic Mean, Average, or Mean)

Population Mean

$\mu = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

$\mu$: 唸作 mu.

$x_i$: 母群體的第 i 筆資料.

$N$: 母群體的資料個數 (population size).

Sample Mean

$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

$x_i$: 取樣的第 i 筆資料.

$n$: 取樣的資料個數 (sample size).

算數平均數適用於區間資料 (interval data, quantitative data, or numerical data)。

中位數 (Median)

把資料加以排序，落在中間的數值，即為中位數。

若有偶數筆資料，則中位數是落在中間的 2 筆資料的平均。

中位數的意義在於有 1 半的資料 $\lt$ 中位數；另 1 半的資料 $\gt$ 中位數。

和算數平均數相比，中位數的好處是，不會受到極端值的影響。

舉例來說，有 5 名同學成績排序為: 50, 60, 70, 80, 90，則中位數為70，有 1 半的同學 $\lt$ 70 分；另 1 半的同學 $\gt$ 70 分。

中位數適用於區間資料、序位資料 (ordinal data)。

眾數 (Mode)

資料中出現次數最多的數值，即為眾數。

眾數可能不只一個。

眾數適用於區間資料、序位資料、類別資料 (nominal data, qualitative data, or categorical data)。

幾何平均數 (Geometric Mean)

適用於找出隨著時間變化的變數的成長率或改變的速率。

幾何平均數適用於區間資料。

變異量數 (Measures of Variability)

適用於區間資料。

全距 (Range)

Range = 資料中的最大值 - 資料中的最小值

優點: 簡單.

缺點: 只考慮到資料中的 2 筆數值，包含的資訊有限。

變異數 (Variance)

Population Variance

$\sigma ^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}$

$\sigma ^2$: 唸作 sigma squared.

Sample Variance (corrected for the mean)

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}{n-1}$

算式中，$x_i - \overline{x}$ 取平方的原因，是因為我們想觀察的是距離，需要避免正負數值互相抵銷。

變異數的單位是資料的單位的平方。舉例來說，若資料的單位是秒，變異數的單位則是秒²。

變異數適用於比較相同型態變數的兩組以上的資料。

標準差 (Standard Deviation)

Population Standard Deviation

$\sigma = \sqrt{\sigma ^2}$

Sample Standard Deviation

$s = \sqrt{s^2}$

標準差的單位和資料的單位相同。

根據 Chebysheff's Theorem，資料中至少有比例為 $1 - \frac{1}{k^2}$ 的觀測落在距離算術平均數的 k 個標準差之內 (其中 $k \gt 1$ )：

1. 至少有 75% 的觀測落在距離算術平均數的 2 個標準差之內。(k=2)

2. 至少有 88.9% 的觀測落在距離算術平均數的 3 個標準差之內。(k=3)

如果資料的histogram是鐘形 (bell shaped)，可以使用下列經驗法則(Empirical Rule)來解讀標準差的意涵：

1. 大約 68% 的觀測落在距離算術平均數的 1 個標準差之內。

2. 大約 95% 的觀測落在距離算術平均數的 2 個標準差之內。

3. 大約 99.7% 的觀測落在距離算術平均數的 3 個標準差之內。

變易係數 (Coefficient of Variation)

Population Coefficient of Variation

$CV = \frac{\sigma}{\mu}$

Sample Coefficient of Variation

$cv = \frac{s}{\overline{x}}$

相對位置量數 (Measures of Relative Standing)

適用於區間資料、序位資料。

百分位數 (Percentile)

第 P 百分位數 (Pth percentile): 是一個數值，其中 P% 的資料 $\lt$ 該數值，而 (100-P)% 的資料 $\gt$ 該數值。

第 25 百分位數 (25th percentile)，又稱為第 1 四分位數 (first quartile, Q₁)。

第 50 百分位數 (50th percentile) 就是中位數 (median)，又稱為第 2 四分位數 (second quartile, Q₂)。

第 75 百分位數 (75th percentile)，又稱為第 3 四分位數 (third quartile, Q₃)。

百分位數的近似位置 (Location of a Percentile)

$L_P = (n+1) \frac{P}{100}$

$L_P$: the location of the Pth percentile

四分位距 (Interquartile Range)

四分位距 = Q₃ - Q₁

線性關係量數 (Measures of Linear Relationship)

描述2個變數之間的關聯性，適用於區間資料。

共變異數 (Covariance)

Population Covariance

$\sigma_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)}{N}$

Sample Covariance

$s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{n-1}$

一般來說，當 2 個變數移動的方向相同，共變異數會是較大的正數；

當 2 個變數移動的方向相反，共變異數會是較大的負數；

當 2 個變數關聯性較低，共變異數會是較小的數值。

相關係數 (Coefficient of Correlation)

Population Coefficient of Correlation

$\rho = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$

$\rho$: 唸作 rho.

$-1 \leq \rho \leq +1$

Sample Coefficient of Correlation

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$

$-1 \leq r \leq +1$

當相關係數接近 +1，表示 2 個變數之間有正向的線性關係，散佈圖(scatter diagram)呈現接近正斜率的直線；

當相關係數接近 -1，表示 2 個變數之間有負向的線性關係，散佈圖(scatter diagram)呈現接近負斜率的直線；

當相關係數接近 0，表示 2 個變數之間沒有線性關係。

有相關性不代表有因果性 (Correlation does not imply causation)。

最小平方法 (Least Squares Method)

對於變數 X, Y，可得出一條直線，其中下列數值是最小的：

$\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$

該直線方程式如下：

$\hat{y} = b_0 + b_1 x$

$b_1 = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$

$b_0 = \overline{y} - b_1 \overline{x}$

決定係數 (Coefficient of Determination)

決定係數 R² = 相關係數的平方

決定係數的意函是相依變數 (dependent variable) 中多少比例的變異量 (variation) 和獨立變數 (independent variable) 有關。

舉例來說，R² = .88，表示 88% 的變異量和獨立變數有關。

延伸閱讀

[書籍] Managerial Statistics, Chap 3 Numerical Descriptive Techniques