數學題 (國一): 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 1997^3 - 1998^3 的末位數字是多少?

題目:

\( 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 1997^3 - 1998^3 \) 的末位數字是多少?



解答:

\( 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 1997^3 - 1998^3 \)

\( = \sum_{n=1}^{999} (2n-1)^3 - (2n)^3 \)

\( = \sum_{n=1}^{999} (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 8n^3 \)

\( = \sum_{n=1}^{999} -12n^2 + 6n - 1\)

我們知道:

\( \sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)

\( \sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2} \)

因此:

\( \sum_{n=1}^{999} -12n^2 + 6n - 1\)

\( = -12 * \frac{999(999+1)(2*999+1)}{6} + 6 * \frac{999(999+1)}{2} - 999 \)

前兩項的和是 -1000 的倍數

最後一項是 -999

因此原式的末位數字是 9



(題目來源: 五福國中資優班國一)