應用「現代投資組合理論」進行「投資組合最佳化」

「現代投資組合理論」(Modern Portfolio Theory, MPT, or mean-variance analysis) 提出一套數學架構,能夠建構出投資組合,使得在選定的風險下,能夠獲得最高的報酬!

「現代投資組合理論」由經濟學家 Harry Markowitz 於 1952 年所提出,他因此於 1990 年獲頒諾貝爾經濟學獎。

數學模型


投資組合 (Portfolio):
由 n 項資產組合而成,第 i 項資產占的權重為 \( w_i \)。
當投資組合裡有 n 項資產時,數學式:
預期報酬 (Expected return, 報酬率的期望值):
\( E(R_p) = \sum_{i=1}^{n}w_iE(R_i) \)

\( R_p \): 投資組合的報酬率 (return on the portfolio)

\( R_i \): 資產 i 的報酬率 (return on asset i)

\( w_i \): 資產 i 在投資組合中的權重 (weighting of component asset i)
變異數 (Portfolio return variance, 預期報酬變動的幅度, 用來衡量風險):
\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_i^2 + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1, j \neq i}^{n}w_i w_j \sigma_{i} \sigma_{j} \rho_{ij} \)

\( \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_i w_j \sigma_{ij} \)

\( \sigma_{ij} = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} \)

\( \sigma_i \): 資產 i 報酬率的標準差 (sample standard deviation of the periodic returns on an asset)

\( \rho_{ij} \): 資產 i 和資產 j 報酬率的相關係數 (correlation coefficient between the returns on assets i and j)

\( \sigma_{ij} \): 資產 i 和資產 j 報酬率的共變異數 (sample covariance of the periodic returns on assets i and j)
標準差 (Portfolio return volatility, standard deviation):
\( \sigma_p = \sqrt{\sigma_p^2} \)
當投資組合裡有 2 項資產時,數學式:
預期報酬:
\( E(R_p) = w_1E(R_1) + w_2E(R_2) = w_1E(R_1) + (1-w_1)E(R_2) \)
變異數:
\( \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho_{12} \)
當投資組合裡有 3 項資產時,數學式:
預期報酬:
\( E(R_p) = w_1E(R_1) + w_2E(R_2) + w_3E(R_3) \)
變異數:
\( \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + w_3^2 \sigma_3^2 + 2w_1 w_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho_{12} + 2w_1 w_3 \sigma_1 \sigma_3 \rho_{13} + 2w_2 w_3 \sigma_2 \sigma_3 \rho_{23}\)

分散投資 (Diversification)


由數學式可證明,只要投資組合內的資產並非完全正相關 ( \( \rho_{ij} \neq 1 \), 亦即 \( -1 \leqslant \rho_{ij} \lt 1 \) ),就可以藉由分散投資降低風險。

分散投資可以做到在同樣的預期報酬下,承受較低的風險。

沒有「無風險利率資產」下的「效率前緣」 (Efficient frontier with no risk-free asset)



上圖中的藍色星號代表不同的資產,有各自的報酬率 (Expected Return) 及風險 (Standard Deviation)。

拋物線的右側是這些資產以不同的權重組成投資組合後,所能夠達到的各種可能的報酬率及風險。

拋物線的上沿稱之為「效率前緣」 (或稱為「效率前沿」) ,在「效率前緣」上的每個點,是在相同風險的情況下能夠達到最高報酬率的投資組合,也可說是在相同報酬率的情況下能夠達到最低風險的投資組合。

雙共同基金理論 (Two mutual fund theorem)


在「效率前緣」上的每個點,都可以由「效率前緣」上任意兩點組合而成。

也就是說,投資者可以使用落於「效率前緣」上的兩檔共同基金,組合出位於「效率前緣」上期望的報酬及風險。

「無風險資產」及「最佳資本配置線」 (Risk-free asset and the best possible capital allocation line)


理論上,「無風險資產」所能獲得的利率稱為「無風險利率」 (risk free rate);實務上,短期的政府公債可視為「無風險資產」,因為政府破產的機率一般來說相當低。

因為「無風險資產」的變異數是 0 (因此稱為無風險資產),它和其他資產的相關係數是 0,因此它和其他資產組合後,風險及報酬呈線性關係。

把「無風險資產」納入投資組合後,新的「效率前緣」為上圖所示的斜線,稱之為「最佳資本配置線」。

「最佳資本配置線」和垂直軸的交點,是「無風險利率」。

「最佳資本配置線」和原本的「效率前緣」的切點,稱之為「切線投資組合」 (tangency portfolio)。

「最佳資本配置線」的數學式:
\( E(R_c) = R_f + \sigma_c \frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p} \)
p: 「切線投資組合」 (tangency portfolio)。

f: 「無風險資產」。

c: 「切線投資組合」和「無風險資產」組合而成的投資組合。
「最佳資本配置線」和原本的「效率前緣」相比,同樣的風險下可以達到更高的報酬,或者說是同樣的報酬下可以達到更低的風險。

因此,以「無風險資產」和「切線投資組合」組合而成的投資組合,能夠達到「同樣的風險下,最高的報酬」或「同樣的報酬下,最低的風險」。

應用上須留意之處


1. 需要能夠估計各種資產未來的報酬及標準差,但實務上並不容易做到。

2. 「現代投資組合理論」使用簡單的數學模型來分析,單純把價格變動化約為變異數,並沒有把導致資產價格變動的因素納入模型架構內,因此和真實狀況會有相當程度的落差。

3. 「現代投資組合理論」假設市場是有效率的,但現實情況不見得是如此。

延伸閱讀


[Wiki] Modern Portfolio Theory

Calculating the Efficient Frontier: Part 1 - A Matrix Based Example of Mean-Variance Optimization using Octave

Calculating the Efficient Frontier: Part 2 - A Matrix Based Approach for Calculating Portfolio Weights

Calculating the Efficient Frontier: Part 3 - Calculating the Efficient Frontier with a Risk-Free Asset